母との約束

詳細な遺産の状況等を検討する必要がありますが、お母様の正式な遺言がなく、東京の実家と千葉のアパート以外に不動産や現預金等の目ぼしい資産がない場合には、妹さんに代償金を支払った上での東京の実家及び千葉のアパートの両方の買取が必要になる可能性があります。しかし、代償金が高額になる可能性に注意する必要があります。
取り急ぎ、遺言がなければ、現状ではいずれの不動産もは法定相続人間で共有となり、アパートの賃料債権は法定相続分に応じて分割相続されますので、貴殿法定相続分については取得可能です。
その他、貴殿がお母様の資産形成に貢献していた場合は寄与分の主張や、立替金がある場合は立替金債権の主張等が考えられますが、遺産全体やこれまでのご家庭の諸々の御事情等詳細を検討する必要があります。
詳細に関しては、弁護士との面談相談をご検討頂いた方がよいでしょう。

どのような解決策がありますか？

協議の上、あなたが家を取得し、その分、お金で返すしかないでしょう。
一括で苦しければ、賃料などから分割払いでお金を返していくということになるでしょう。

私の配偶者は、家を出た人間に、相続分を渡す必要などないと言ってます。

法律上、そうはいかないでしょう。